Translate this page

sábado, 31 de agosto de 2013

Sierpinski y Voronoi, fontanería espacial


  Cómo recubrir un plano o un volumen con varias redes de distribución o recolección


  Cuando presenté el mapa de niveles de la ciudad flotante de Vikatee, el esquema del nivel 4 mostraba un curioso dibujo, que prometí explicar más adelante:


   Sin revelar los misterios del 'nivel prohibido', sí os puedo decir que la idea de este extraño esquema es representar las redes de recolección de residuos y de distribución de agua de la ciudad voladora. Vamos, es un plano de la fontanería de la ciudad.

   Los misteriosos Constructores de la ciudad buscaron la forma óptima para poder recoger o llevar líquidos o gases a los diferentes lugares, utilizando la mínima longitud posible de tuberías y por tanto ahorrando material y peso a la ciudad. Podemos imaginar el mismo problema en tres dimensiones si hubieran construido un habitáculo en el espacio (hmmm.. creo que utilizaré la idea en el próximo libro  :-)

   El caso es que los Constructores recurrieron a objetos ideados por dos venerables matemáticos de finales del siglo XIX y principios del XX: Georgi Voronoi y Waclaw Sierpinski, que había estudiado los trabajos del primero. De forma directa o indirecta, ambos trabajaron en el problema de cómo podía 'rellenarse' un plano.


 


  Dividiendo el plano


  Un problema que ha entretenido a los albañiles y matemáticos durante siglos es cómo dividir un espacio plano (un suelo, una pared, etc.) en trozos que lo recubran sin dejar huecos y sin intersectarse. Es lo que los matemáticos llaman técnicamente una partición. Cuando esta partición se consigue reutilizando elementos geométricos similares (losas, baldosas o teselas, 'tiles' en inglés) se llama teselación. Os recomiendo esta página donde se muestran las diferentes técnicas.

   Todos estamos familiarizados con los teselados regulares o semiregulares, que repiten elementos de la misma forma (o formas) periódicamente. Encontramos estas teselaciones en cualquier casa y como decoración en suelos, paredes y techos.





Los maestros de la teselación decorativa fueron sin duda los artistas musulmanes, como podemos comprobar en la Alhambra y otros monumentos:





ç

El genial artista holandés M.C. Escher se basó en estas teselaciones para construir las suyas con animales, ángeles o demonios:





En todos los ejemplos anteriores encontramos periodicidad, la repetición de un patrón determinado. Sin embargo, existen teselaciones aperiódicas que aún siendo regulares (los elementos se repiten), no son periódicas, no existe un patrón. Con ellas puede rellenarse un plano infinito sin que tengamos necesidad de repetirnos. 

Fue necesario el trabajo de un matemático de la talla de Roger Penrose en los años 70 para demostrar que podían construirse teselaciones aperiódicas con solamente dos tipos de baldosas:



   El problema que abordó Voronoi fue diferente: si tenemos una serie de puntos P esparcidos por un plano, ¿cómo se dividiría el plano en regiones, de tal forma que dentro de una región R estamos más cerca de un punto pR que de cualquier otro? Lo podéis ver en esta imagen:


  Estos 'diagramas de Voronoi' pueden construirse igualmente para puntos en el espacio 3D o de más dimensiones. Una mina para arquitectos visionarios:




  Por tanto, si un fontanero espacial se planteara cómo construir una red de canalizaciones en una ciudad voladora plana o en 3D (imaginad una explotación minera de un asteroide), podría dividir todo ese espacio en regiones que serían las más cercanas a los puntos donde se localizaran las centrales de distribución o recolección, ahorrando así tiempo y recursos.

  Aprovechando que tenemos a mano a M.C.Escher:

 

   ¿Se puede rellenar el plano con una línea?


   Suponiendo que hemos dividido nuestra ciudad en varias regiones utilizando la técnica de Voronoi, ¿cómo crearíamos la red de distribución más eficiente en cada región, a partir del punto central? Tendremos en cuenta que en cualquier lugar puede producir o necesitar la misma cantidad de fluido.

   Para responder a esta pregunta podemos apoyarnos en otro problema en el que trabajaron los matemáticos del siglo XIX: ¿puede rellenarse un plano con una línea? A priori parecería que ésta es una tarea imposible, teniendo en cuenta que una línea matemática es infinitamente delgada, y el plano contiene un número infinito de puntos.

   Sin embargo, Georg Cantor había demostrado que el infinito de puntos en el plano era equivalente al de puntos de una línea (no hay en realidad 'más puntos' en el plano que en la línea), y por lo tanto debía ser posible establecer una correspondencia entre puntos de una línea y los de un plano. Dicho de otra manera, debería ser posible representar los puntos de un plano con una sola coordenada en lugar de dos coordenadas.

   Así, los grandes matemáticos de la época construyeron unas curvas por sucesivas iteraciones, de manera que al repetirse éstas infinitas veces se conseguiría rellenar todo el plano. Podemos ver a continuación cómo se construían estas curvas:

 Peano

  

Hilbert


Moore


   Y aquí entra nuestro segundo fontanero honorario, Sierpinski, pues en la construcción de su curva cerrada se va generando una ramificación progresiva desde un punto central, y si nos fijamos existen puntos terminales de esta ramificación que llegan a todos los puntos del plano con una distancia mínima desde el punto central (no en línea recta, pero sí teniendo en cuenta la restricción de ángulos rectos). 

Sierpinski

  En realidad, Sierpinski se hizo más famoso por otro tipo de construcción, en el que el espacio no se rellena completamente, sino dejando huecos. Este tipo de objeto geométrico se llama un fractal, y se caracteriza por su autosimilaridad y por tener una dimensión fraccional. Por ejemplo, una alfombra de Sierpinski tiene una dimensión 1.58, entre 1 y 2.


  Existen infinidad de variaciones sobre este tema, más o menos románticas:




   Fontanería de Vikatee


  Pero volviendo a nuestro problema original, vemos ahora que la idea de Voronoi, dividir el espacio en regiones de 'cercanía' a un conjunto de puntos, se puede combinar con la idea de Sierpinski de un árbol que llega con distancias mínimas a todos los puntos de una región.

  Podéis comprobar ahora cómo el plano del nivel prohibido de Vikatee se construyó dividiendo el rectángulo de la ciudad en regiones cercanas a una serie de puntos, y trazando árboles similares a los de Sierpinksi a partir de éstos. En realidad me salté las reglas de ambos (Voronoi y Sierpinski) cuando me convino, pero la inspiración está ahí, ja ,ja.



  Así que ya lo sabéis, para cuando diseñéis vuestras futuras construcciones espaciales, hay matemáticos que han pensado en todo  :-)

  Hasta la próxima,

     Salvador



sábado, 24 de agosto de 2013

La 'Ciudad Media'


   Un poco de historia sobre la Tierra Media y cómo influyó en la idea de 'La Ciudad de las Esferas'


   A veces los proyectos nacen con una idea sencilla que luego se va complicando, independizándose de la ocurrencia inicial y evolucionando por su cuenta sin hacer caso a las intenciones del autor.
 
   En el caso de 'La Ciudad de las Esferas', todo comenzó al pensar en el concepto de Tierra Media y ocurrírseme que podía presentarlo de una manera diferente. Pero para que entendáis por qué, tendré que hablar primero sobre qué es exactamente la Tierra Media.

    El universo en tres partes


   Desde hace mucho tiempo, y en diferentes culturas, ha parecido natural dividir el mundo en tres niveles: la superficie de la Tierra donde viven los humanos (el conocimiento de que la Tierra es esférica es bastante reciente en términos históricos), lo que hay por encima de ella (incluyendo el Sol, la Luna y los objetos visibles en el cielo nocturno) y lo que hay por debajo (conocido sólo por las cuevas y el magma ardiente de los volcanes).

    Supongo que resultaba también bastante sencillo asociar preferentemente la morada de los dioses a la parte superior (por aquello de que enviaban la luz, se movían por el cielo, hacían llover y tiraban rayos), y recluir a los seres malignos a la oscuridad y el calor ardiente que reinaba bajo tierra, sea por haber sido exiliados allí como castigo o porque fueran los señores del averno.

   Los antiguos griegos, por ejemplo, asignaron a los cielos el dominio de Zeus y sus dioses olímpicos, mientras el submundo era el dominio de Hades, que reinaba sobre los muertos y otros seres bastante desagradables.



   Desde este punto de vista, el significado de 'Tierra Media' es claro, significa 'el mundo intermedio' donde viven los humanos, y esta acepción es la que se mantiene también en el uso que Tolkien hace de ella.

 

    Círculos dentro de otros círculos


    Con el modelo ptolemaico del universo, aceptado hasta Copérnico ((aunque la esfericidad de la Tierra tardó en ser aceptada totalmente), el mundo celeste se complica enormemente con multitud de esferas donde giran las estrellas, los planetas, el Sol y la Luna. La Tierra sigue 'en el medio' del universo, en una posición central. El esquema Arriba-Abajo pasa a ser un esquema Fuera-Dentro.

     Dante, con su Divina Comedia, dará una vuelta de tuerca a esta construcción, introduciendo también círculos concéntricos en la propia estructura del Purgatorio, el Paraíso (situado, claro, en el mundo celeste) y el Infierno, situado bajo la superficie de la Tierra.



    Esta concepción 'vertical' de los tres mundos aparece representada en multitud de obras pictóricas en la tradición cristiana, con la Trinidad en la parte superior, el mundo humano en medio y los infiernos llenos de sufrientes pecadores y demonios en la parte inferior:


    Una mitología de infinitos mundos y ciclos



   Quizás la cosmología más compleja y bella es la que subyace a los textos Védicos de la tradición Hindú. Aquí aparecen una multiplicidad de universos, con ciclos dentro de ciclos del espacio y del tiempo (pulsar para ampliar esta fantástica imagen). 


En la parte inferior del diagrama vemos que dentro de la estructura de nuestro universo particular sigue apareciendo la Tierra en una posición intermedia, con planetas superiores e inferiores, pero es una visión mucho más compatible con la cosmología actual que las antes mencionadas. Y por supuesto, no existe un cielo ni un infierno en ningún lado.



    La cosmología nórdica: Midgard


      Las raíces del concepto de Tierra Media utilizado por Tolkien se encuentran en la mitología nórdica-escandinava, la de los Vikingos y otros pobladores ancestrales del norte de Europa.


En esta mitología, el mundo habitado por los humanos (la Tierra Media o Midgard) está situado en un nivel central del Árbol universal llamado Yggdrasil, quedando el mundo de los dioses (Asgard) situado 'por encima' y otros mundos de diferentes seres, incluyendo el mundo de los muertos, situados 'por debajo'. El Arco Iris actúa como puente o vía de comunicación entre los diferentes niveles.

    La Tierra Media de Tolkien

    
    Como profesor de lenguas Anglo-sajonas y estudioso del mito de Beowulf y las narraciones nórdicas, J.R.R. Tolkien estaba muy familiarizado con la mitología nórdica y el concepto de Tierra Media que se utiliza en estas historias con el significado de 'el mundo humano'. Utilizó el mismo significado cuando compuso su propia mitología, de la que forman parte 'El Hobbit', 'El Señor de los Anillos' y otras muchas narraciones. La visión más completa de esta mitología se ha compilado póstumamente en El Silmarillion, obra épica inacabada que abarca las tres eras de la historia Tolkiana.

    Pero Tolkien transformó de varias maneras el concepto clásico de Tierra Media y su relación con los mundos superiores e inferiores. 

    Una forma interesante en que cambió el concepto fue situando los tres ámbitos en el mismo mundo, en un planeta que él mismo sugirió podía imaginarse como la Tierra en una época anterior. El eje de transición pasó a ser Este-Oeste en lugar de Abajo-Arriba. Así, el reino donde moran los seres inmortales se encuentra al Oeste, situado más allá del sol poniente para los habitantes de la Tierra Media. En ciertos momentos de la historia, este mundo estuvo conectado con el continente de la Tierra Media, o existió un continente-isla intermedio (Númenor) donde se experimentó la posibilidad de que los hombres más cercanos a la inmortalidad desarrollaran una civilización más elevada, como la de los elfos, pero este esfuerzo acabó con la destrucción de Númenor y la separación clara entre los dos ámbitos.

    En esta concepción Este-Oeste, resulta claro que el mal se encuentra siempre situado hacia el Este, como es el caso de Mordor en El Señor de los Anillos, o los obstáculos que encuentra El Hobbit en su camino hacia la Montaña Solitaria situada hacia el Este.

    El otro aspecto interesante es que este esquema va cambiando con el tiempo, en la dirección de una separación progresiva de los ámbitos 'humano' y 'divino', completándose al final de El Señor de los Anillos esta separación con la huida de los Elfos que aún vivían en la Tierra Media hacia el Oeste, para ir a las tierras inmortales junto a Gandalf y Frodo como portadores de los Anillos e instrumentos en la última fase de la lucha contra el Mal.

    El siguiente mapa es una reconstrucción muy interesante de este concepto geográfico-mitológico, que sin embargo no debe interpretarse literalmente, pues como se ha apuntado la geografía va cambiando según el transcurso de las Edades de la mitología tolkiana (pulsar sobre el mapa para ampliar).


   Este otro mapa (pulsar para ampliar) reconstruye de forma más detallada el continente donde se encuentra la Tierra Media de El Hobbit y El Señor de los Anillos junto a otras zonas más al sur y al este descritas en las historias.



    Vikatee, la Ciudad Media

    
     Y llegamos ya a la idea que dio lugar a la Trilogía de las Esferas, aunque ya he dicho que esta imagen inicial fue solamente la chispa que provocó un incendio descontrolado.

     La imagen fue la de un 'mundo intermedio' que no se encontrara en la superficie de un planeta, sino flotando eternamente por encima de ella. Para los habitantes de esta 'ciudad flotante', el 'mundo celestial' sería incluso más obvio que para nosotros, pues tendrían una vista ininterrumpida de sus maravillas.

    Imaginé también qué pasaría si la superficie del planeta, alrededor del cual volaba esta ciudad, fuera invisible para ellos por estar siempre cubierta de una impenetrable capa de nubes, y pensé que quizás habrían desarrollado una mitología propia en la que el Infierno estaba situado allá abajo, tras la opaca y misteriosa cortina de las nubes eternas. Es decir, lo que para nosotros es nuestro mundo ocuparía para ellos el lugar del Infierno. De alguna manera, le daba la vuelta a la idea de Philip K. Dick de que nuestro mundo podría ser el Paraíso de una raza alienígena.

    En fin, esa ciudad flotante tuvo que tener unos Constructores, y éstos debían figurar también en la mitología de sus habitantes, y a partir de ahí se fue desenvolviendo la caja de Pandora que es toda historia, alejándose de su punto de partida original.


    Y esto es todo por hoy.

     Hasta la próxima,

       Salvador



martes, 20 de agosto de 2013

Música de las Esferas


  Aprovechando la pereza de Agosto y que algunos ya habéis comenzado a leer La Ciudad de Las Esferas, voy a poneros algunos enlaces a música que estuve escuchando durante la revisión del texto para ayudarme con el 'toque épico' de la historia, por si queréis acompañar la lectura con ellos.

  Los encantamientos de Mike Oldfield


  Mike Oldfield fue una de mis primeras obsesiones musicales, aunque como en otros casos (Vangelis, Jean Michel Jarre, Michael Nyman, Philip Glass) le fui perdiendo la pista en los últimos años.

  Una pieza en particular me parece ideal para escuchar mientras se lee historias fantásticas, su album Incantations, publicado en 1978. Sus ritmos y voces hipnóticas me sirvieron de acompañamiento la primera vez que leí "Dios Emperador de Dune" de Frank Herbert, y esa experiencia mágica me acompaña siempre que la escucho.

  Aquí tenéis el album completo en versión de estudio:



   Y aquí en una versión en directo durante su gira Exposed, hace ya unos añitos :-)



   El primer señor de los Anillos


  La madre de todas las historias épicas es el Ciclo del Anillo del Nibelungo (también conocida como la Tetralogía o el Anillo), de Richard Wagner. En este grandioso ciclo de óperas, Wagner utiliza (al igual de Tolkien muchos años después) las antiguas leyendas nórdicas sobre la lucha mitológica por un anillo de poder (aunque éste no juega un papel tan importante como en la historia de Tolkien).

   Las técnicas que Wagner utilizó en la Tetralogía, asignando motivos musicales a los diferentes personajes y temas, haciéndolos evolucionar y cruzarse durante el desarrollo de la historia, ha sido copiada hasta la saciedad en todas las bandas sonoras de películas.

   En cualquier caso, el Anillo original sigue teniendo tanta fuerza épica como siempre, y vale la pena intentar ver las 15 horas que dura en su totalidad, porque la historia es muy interesante. Pero si no tenéis tanta paciencia, Solti hizo una recopilación de pasajes orquestales que dura poco más de una hora:



  Aquí tenéis una antigua grabación de Solti grabando "El ocaso de los dioses":


   Una de las películas en las que se usa con mejor efecto dramático la música del Anillo es Excalibur, que resulta uno de los más fieles filmes épico-mitológicos. Aún me da escalofríos cada vez que veo esta secuencia final (por cierto, nótese la 'coincidencia' de la última parte con Arturo partiendo hacia el sol poniente en un barco con el final del Señor de los Anillos):



El 'otro' Señor de los Anillos


  Howard Shore, por supuesto, utiliza técnicas wagnerianas en su increíble banda sonora para las películas de Peter Jackson. No me gustó demasiado su versión sinfónica, pero vale la pena escuchar esta recopilación u otras que circulan por YouTube de los temas originales, casi 2 horas de fantástica música:



Algo más ligero


   Y si os atragantáis un poco con tanta épica, os propongo escuchar a Lorena McKennit, que quizás 'merecía' tanto como Enya y otros artistas haber participado en la banda sonora de El Señor de los Anillos. Preciosa combinación de temas orientales y célticos:



   Que lo disfrutéis. Hasta la próxima,

     Salvador


martes, 13 de agosto de 2013

¡La Ciudad de las Esferas ya está disponible!


  El anuncio oficial con la campaña de 'marketing' se hará en Septiembre pero los fieles del blog tenéis aquí la primicia. ¡Ya podéis dormir tranquilos por las noches! Todo lo que os he ido contando no era un montaje: ¡el libro existe y se puede leer!  :-)

  En principio la trilogía estará accesible en versión impresa en todas las tiendas on-line de Amazon, por lo cual se puede comprar prácticamente desde cualquier lugar del mundo. Aquí tenéis el enlace a la página de La Ciudad en la tienda de España. Está también disponible para Kindle, mucho más barata. De todas formas, he creado unos enlaces en la parte superior del blog, para que los tengáis a mano.

  La tienda Kindle tiene una 'visualización previa' donde podéis leer un buen pedazo del libro para ver qué os parece. Si alguien tiene una cuenta 'Prime' de Amazon, además puede 'pedir prestado' el libro de forma gratuita durante el tiempo que quiera.




   Así que ya sabéis, ¡aún podéis aprovecharlo como lectura de verano!

   Espero vuestras opiniones sinceras y absolutamente favorables, ja, ja, tanto aquí en el blog como sobre todo en los comentarios de Amazon y la tienda Kindle, para que 'se corra la voz'.

   Para los que no podáis conciliar el sueño después de leer el libro, os diré que ya tengo el esquema general para la segunda y tercera parte, y si todo va bien y sigo el mismo ritmo que para la primera, el verano que viene podréis leer la esperada continuación. Como saben los que han leído el borrador, la primera parte es autocontenida y con un final claro, pero deja importantes preguntas y objetivos en el aire que se solucionan en las siguientes partes de la trilogía.

   ¡Gracias a todos por el apoyo, y que la disfrutéis!

   Un abrazo,

     Salvador


El búho como símbolo del conocimiento


   Siguiendo con el tema de la entrada anterior, sobre la publicación de mi guión basado en la vida de Philip K. Dick, quería profundizar en el tema del búho o lechuza como símbolo del conocimiento, o más bien de la búsqueda de ese conocimiento.

   Ya vimos que Dick utiliza la expresión 'owl in daylight' en un sentido similar al de la Alegoría de la Caverna de Platón: los que viven en la oscuridad (ignorancia de la verdadera realidad) quedan cegados al contemplar lo que subyace a las apariencias o fenómenos (para Platón, las Ideas; para Dick, las extrañas visiones de un tiempo simultáneo con otras épocas históricas y el descubrimiento de que nuestro mundo aparente no es real).



   Al igual que Platón, Dick creía en la anamnesis (literalmente, lo contrario de 'amnesia'), la capacidad de recordar cosas y experiencias de vidas anteriores debido a que el alma inmortal mantiene esos recuerdos de un cuerpo a otro.



   Modernamente, se ha propuesto este acceso a los recuerdos de vidas anteriores a través de la hipnosis regresiva (curiosamente, todo el mundo parece haber sido alguien muy importante en el pasado, lo cual nos da una pista de la verosimilitud de esta idea) y en ciencia ficción el regreso de memorias pasadas juega un papel importante en algunas historias como los clones ghola utilizados por Frank Herbert en los libros de la saga Dune, que pueden recuperar los recuerdos de su cuerpo original a través de una experiencia traumática. También las Reverendas Madres Bene Gesserit recuperan la memoria viva de las Madres que las han precedido al beber y transformar el Agua de Vida, el veneno extraído de los gusanos gigantes de Arrakis.



   Herbert basaba esta idea no en la inmortalidad del alma o en una forma de reencarnación, sino en la posibilidad de que la memoria se almacene en el material genético dentro de las células del cuerpo (memoria celular). Por lo visto, hay gente que se toma en serio esta idea de la ciencia-ficción (probablemente tomada de las ideas de Carl Jung) que no tiene realmente ningún fundamento científico.



   Más allá de la idea de Dick del búho como una metáfora de la recuperación traumática de conocimientos anteriores, son muchas las culturas que han asociado el búho con el acceso a la sabiduría oculta o los ha visto como mensajeros de las fuerzas mágicas. Durante la Edad Media incluso se pensó que los búhos y lechuzas eran el disfraz preferido de los magos, al igual que los gatos negros lo eran de las brujas. No es de extrañar que J.K.Rowling escogiera una lechuza como la mascota mensajera de Harry Potter.



   Hoy en día es frecuente ver a los búhos disfrazados de maestros y profesores, es decir, como transmisores del conocimiento:


   En general los búhos son un símbolo positivo. Incluso en el famoso cómic Watchmen (¡recomendado! ¡y también la película!), el único superhéroe que no está loco es Nite Owl -lechuza-.


   El búho se convirtió también en el símbolo de la filosofía (es decir, del 'amor a la sabiduría'), al ser el animal que acompaña a la diosa Atenea (Minerva para los romanos), hija de Zeus y cuya principal virtud es precisamente la sabiduría.


  El filósofo Hegel reforzó esta identificación al explicar que la filosofía 'levanta su vuelo al atardecer, como el búho de Minerva', queriendo con ello decir que el papel de la filosofía y su conocimiento es más bien lo que hoy llamaríamos una 'racionalización', es decir, dar estructura y sentido 'a posteriori' a la experiencia de la humanidad, organizando el saber en un todo coherente y dinámico con la historia, proporcionando una narrativa a lo que de otra forma serían saberes desconectados e inconsistentes.



   En fin, esta asociados de búhos y lechuzas con el conocimiento debe estar relacionada con el hecho de mirarlo todo fijamente con sus grandes ojos mientras escuchan con atención. Pude comprobar de cerca la elegancia y belleza de estos animales en la demostración de aves rapaces del Parque de la Naturaleza de Cabárceno en Cantabria. ¡No os lo perdáis si pasáis por allí!



   Hasta pronto,

     Salvador